ポートフォリオ理論の基礎とCAPM

1. 概要

ポートフォリオ理論は、複数の資産を組み合わせて投資することで、リスクを抑えながら効率的なリターンを追求するための理論体系です。期待収益率・分散・共分散・相関係数といった統計的な概念を基盤とし、効率的フロンティア・CAPM・パフォーマンス評価指標へと発展します。CFP試験では計算問題と概念問題の両方が出題される重要分野です。各指標の定義・計算式・直感的な意味をセットで押さえることが合格への近道です。

2. ポートフォリオ理論の基礎知識

期待収益率

期待収益率とは、将来得られると予想される収益率の加重平均です。各シナリオの収益率にその発生確率を掛けて合計します。

期待収益率 E(R) ＝ Σ（各シナリオの確率 × 収益率）

例：好況（確率40%・収益率20%）、普通（確率40%・収益率10%）、不況（確率20%・収益率−5%）の場合：
E(R) ＝ 0.4 × 20% ＋ 0.4 × 10% ＋ 0.2 × (−5%) ＝ 8% ＋ 4% − 1% ＝ 11%

分散と標準偏差（リスクの測定）

投資のリスクは収益率のばらつきで表します。分散（σ²）はばらつきの大きさを示し、その平方根が標準偏差（σ）です。標準偏差が大きいほどリスクが高いことを意味します。

分散 σ² ＝ Σ｛確率 × （収益率 − 期待収益率）²｝

共分散と相関係数

2つの資産の収益率が連動する度合いを示す指標が共分散と相関係数です。ポートフォリオの分散効果の大きさを決める最も重要な指標です。

指標	計算式	取り得る値・意味
共分散 Cov(A,B)	Σ｛確率 × (Aの収益率 − E(A)) × (Bの収益率 − E(B))｝	プラス：同方向に動く、マイナス：逆方向に動く、ゼロ：無関係
相関係数 ρ(A,B)	Cov(A,B) ÷ (σA × σB)	−1以上＋1以下。+1：完全な正の相関、0：無相関、−1：完全な負の相関

📌 相関係数と分散効果
相関係数が低いほど（−1に近いほど）、2資産を組み合わせたときのポートフォリオのリスク低減効果（分散効果）が大きくなります。相関係数が＋1の場合は分散効果がゼロ（リスク低減なし）、−1の場合は理論上リスクをゼロにできます。相関係数が＋1未満であれば必ず分散効果が生まれます。

2資産ポートフォリオの期待収益率とリスク

資産Aと資産Bを組み合わせたポートフォリオの期待収益率とリスク（標準偏差）は以下の式で求めます。

指標	計算式
ポートフォリオの期待収益率	E(Rp) ＝ wA × E(RA) ＋ wB × E(RB)　※wA・wBは各資産への投資比率（wA＋wB＝1）
ポートフォリオの分散	σp² ＝ wA² × σA² ＋ wB² × σB² ＋ 2 × wA × wB × Cov(A,B)

3. 投資機会集合と効率的フロンティア

投資機会集合

2つ以上の資産を様々な比率で組み合わせたとき、実現可能なすべてのリスク・リターンの組み合わせを「投資機会集合」といいます。相関係数が＋1未満の場合、投資機会集合は左に凸の曲線（双曲線）を描きます。

効率的フロンティア（効率的境界線）

投資機会集合の中で「同じリスクなら最も高いリターン」または「同じリターンなら最も低いリスク」を実現するポートフォリオの集合を「効率的フロンティア」といいます。合理的な投資家は効率的フロンティア上のポートフォリオを選択します。

概念	内容
最小分散ポートフォリオ	効率的フロンティアの左端に位置する、リスクが最小のポートフォリオ
支配原理	同一リスクで高リターン、または同一リターンで低リスクのポートフォリオが「支配する」。支配されるポートフォリオは非効率

無差別曲線と最適ポートフォリオ

投資家の選好（リスク許容度）は「無差別曲線」で表されます。無差別曲線と効率的フロンティアが接する点が、その投資家にとっての「最適ポートフォリオ」です。リスク回避度が高い投資家ほど無差別曲線の傾きが急になり、より低リスク側の点を選択します。

4. マーケット・モデル（市場モデル）

α（アルファ）とβ（ベータ）

マーケット・モデルは、個別資産の収益率と市場全体（マーケットポートフォリオ）の収益率の関係を以下の式で表します。

Ri ＝ αi ＋ βi × Rm ＋ εi　（Ri：個別資産の収益率、Rm：市場収益率、εi：残差）

係数	意味	具体例
β（ベータ）	市場全体の動きに対する個別資産の感応度。市場が1%動いたときに何%動くかを示す	β＝1.5：市場が10%上昇すると15%上昇（下落も同様に増幅）
α（アルファ）	市場の動きで説明できない超過収益率。運用スキルの評価指標として使われる	αがプラス：市場平均を上回る超過収益を実現

システマティックリスクと非システマティックリスク

リスクの種類	別名	内容	分散投資による除去
システマティックリスク	市場リスク・β（ベータ）リスク	市場全体に影響する要因（金利・景気・為替等）によるリスク。βで測定	除去できない
非システマティックリスク	固有リスク・アンシステマティックリスク	個別企業に固有の要因（不祥事・業績悪化等）によるリスク	分散投資で除去可能

📌 分散投資で消えないリスク
どれだけ多くの銘柄に分散投資しても、市場全体に影響するシステマティックリスク（β）は消すことができません。分散投資によって消せるのは非システマティックリスク（個別銘柄固有のリスク）のみです。この区別はCAPMの根拠となる重要概念です。

5. CAPM（資本資産価格決定モデル）

CAPMの基本式

CAPM（Capital Asset Pricing Model）は、効率的な市場において個別資産の期待収益率がどのように決まるかを示すモデルです。リスクに見合った収益率（均衡収益率）を求めることができます。

E(Ri) ＝ Rf ＋ βi × ｛E(Rm) − Rf｝

記号	意味
E(Ri)	個別資産iの期待収益率（均衡収益率）
Rf	無リスク資産の収益率（リスクフリーレート）。国債利回り等が使われる
βi	個別資産iのベータ値
E(Rm) − Rf	マーケットリスクプレミアム（市場全体の期待超過収益率）

計算例

無リスク利子率Rf＝2%、市場の期待収益率E(Rm)＝8%、β＝1.5の銘柄の均衡収益率：

E(Ri) ＝ 2% ＋ 1.5 × （8% − 2%）＝ 2% ＋ 9% ＝ 11%

証券市場線（SML：Security Market Line）

CAPMの関係をグラフ化したものが証券市場線（SML）です。横軸にβ、縦軸に期待収益率をとり、Rf（β＝0）とマーケットポートフォリオ（β＝1）を結ぶ直線で表されます。

SML上の位置	意味
SMLの上方	均衡収益率より実際の期待収益率が高い → 割安（アンダープライシング）→ 買いシグナル
SMLの下方	均衡収益率より実際の期待収益率が低い → 割高（オーバープライシング）→ 売りシグナル
SML上	リスクに見合った均衡価格 → 適正評価

6. ポートフォリオのパフォーマンス評価指標

指標	計算式	特徴・使いどころ
シャープレシオ	（ポートフォリオの収益率 − 無リスク利子率）÷ ポートフォリオの標準偏差	総リスク（標準偏差）1単位あたりの超過収益率。単独で運用する場合の評価に適する
トレイナー比率	（ポートフォリオの収益率 − 無リスク利子率）÷ β	市場リスク（β）1単位あたりの超過収益率。他のポートフォリオと組み合わせる場合の評価に適する
ジェンセンのα（アルファ）	実際の収益率 − CAPMによる均衡収益率	市場リスクを考慮したうえでの超過収益率。運用者のスキル評価に使用
情報比率（IR）	アクティブリターン ÷ トラッキングエラー	ベンチマーク対比の超過収益率のばらつきに対するリターン。アクティブ運用の評価に使用

📌 シャープレシオとトレイナー比率の使い分け
シャープレシオはリスクの尺度に「標準偏差（総リスク）」を使い、トレイナー比率は「β（システマティックリスク）」を使います。ポートフォリオが資産全体のほとんどを占める場合（単独運用）はシャープレシオが適切で、他の資産と組み合わせる場合はトレイナー比率が適切です。

7. 効率的市場仮説（EMH）

効率的市場仮説（EMH：Efficient Market Hypothesis）とは、市場価格はすべての利用可能な情報を即座に反映しており、継続的に市場平均を上回ることは不可能であるとする仮説です。

形態	反映される情報	有効でない分析
ウィーク型（弱形）	過去の株価・取引量等の市場情報	テクニカル分析（チャート分析）は無効
セミストロング型（準強形）	ウィーク型の情報＋公開情報（財務諸表・ニュース等）	テクニカル分析・ファンダメンタルズ分析ともに無効
ストロング型（強形）	セミストロング型の情報＋内部情報（インサイダー情報）	あらゆる情報分析が無効

⚠️ EMHと各分析手法の有効性
ウィーク型が成立 → テクニカル分析は超過収益を生まない。セミストロング型が成立 → ファンダメンタルズ分析も超過収益を生まない。ストロング型は現実的にはほぼ成立しないとされています（インサイダー取引による超過収益は実際に観察されるため）。試験では「どの型でどの分析が有効かどうか」が問われます。

8. 行動ファイナンス（行動経済学）

行動ファイナンスは、伝統的なファイナンス理論（合理的な投資家を前提）に対し、人間の心理的バイアスや非合理的な行動が市場価格に影響を与えることを研究する分野です。

概念	内容
プロスペクト理論	人は利益より損失を大きく感じる（損失回避性）。同額の利益より損失の方が約2倍の心理的影響がある
損失回避バイアス	損失を避けるために非合理的な意思決定をしやすい。含み損銘柄を売れない「損切りできない」行動が典型例
ヒューリスティック	経験則・直感による意思決定。代表性・利用可能性・アンカリングなどのバイアスが生じる
アンカリング	最初に提示された数値（アンカー）に引きずられて判断する傾向。株の購入価格にこだわる行動等
フレーミング効果	同じ内容でも提示の仕方（フレーム）によって判断が変わる。「10%の確率で損失」と「90%の確率で利益」は同じ意味だが反応が異なる
過信（オーバーコンフィデンス）	自分の判断・予測を過度に信頼する傾向。過度な売買や集中投資につながりやすい